; ; ;
6. Тригонометрична форма комплексного числа. З рисунка, , .Звідси,
. (7) , (8)а кут визначається з рівностей , . (9).
8. Піднесення до цілого степеня. Формула Муавра Теорема. Для будь-якого цілого справджується рівність. (15)Доведення. Методом математичної індукції доведемо спочатку, що формула (15) справджується для натуральних . При формула очевидна. Припустимо, що формула справджується для всіх показників аж до . Тоді
, тобто формула справджується і для . За принципом математичної індукції вона справджується для всіх , . Нехай тепер ціле від’ємне число. Покладемо , . Тоді
.
9. Добування кореня з комплексного числа. Коренем -го степеня з комплексного числа називається таке комплексне число , що і позначається символом , .Якщо , то . Нехай тепер , , тобто . Припустимо, що існує і дорівнює . Тоді.За формулою Мавра .Оскільки два комплексних числа рівні тоді і лише тоді, коли їх модулі рівні, а аргументи відрізняються доданком, кратним , то, , Звідси,, .Остаточно . Покажемо, що корінь -го степеня має рівно різних значень. Справді, при отримується різних значень, оскільки збільшення на одиницю призводить до збільшення аргументу на .Нехай тепер не збігається з жодним із значень . Тоді , тому , і,тобто значення аргументу при даному відрізняється від значення аргументу при на доданок, кратний . Це означає, що при даному отримується таке саме значення кореня, як і при , тобто таке, що входить в множину .
11. Первісні корені..Теорема. Корінь – го степеня з одиниці є первісним тоді і лише тоді, коли число взаємно просте з числом .Доведення. Позначимо через найбільший спільний дільник чисел і . Нехай і не є взаємно простими, тобто і нехай , . Тоді
, тобто , , тому не є первісним коренем – го степеня з одиниці. Нехай тепер , тобто і взаємно прості. Припустимо, що є коренем степеня з одиниці, . Тоді , .
Звідси, – ціле число, тобто ділиться на . Це означає, що кожний простий множник, на які розкладається число , зустрічається в розкладі на прості множники або числа , або числа . Оскільки , то прості множники числа не можуть вичерпати всіх простих множників числа . Звідси, існує принаймні один простий множник числа , який є одночасно і множником числа , тому числа і не є взаємно простими. Це, однак, суперечить умові, що .
3. Дільники многочлена. Теорема. Многочлен є дільником многочлена тоді і лише тоді, коли існує многочлен такий, що . (21)Доведення. Якщо є дільником многочлена , то рівність (21) випливає з рівності (17) при , причому за береться частка від ділення на .
4. Властивості подільності многочленів.10. Якщо ділиться на , а ділиться на , то ділиться на .Справді, нехай і . Тоді ..20. Якщо і діляться на , то діляться на .Нехай і нехай . Тоді ..30. Якщо ділиться на , то добуток , де – довільний многочлен, також ділиться на . Справді, якщо , то .40. Якщо кожен з многочленів ділиться на , то на також ділиться многочлен , де – довільні многочлени. Випливає з 20 і 30. 50. Кожен многочлен ділиться на будь-який многочлен нульового степеня. Справді, .60. Якщо ділиться на , то ділиться і на , , . Нехай і . Тоді ..70. Всі дільники многочлена , які мають той самий степінь, що й , мають вигляд , , . Справді, якщо і , то з рівності маємо , тобто , , тому . Остаточно, .80. Многочлени і одночасно діляться один на одного тоді і лише тоді, коли , , . Випливає з 70. (, ).90. Кожний дільник одного з двох многочленів і , , є дільником і для другого. Випливає з 10 і 80.
7. Взаємно прості многочлени. Теорема. Якщо є найбільшим спільним дільником многочленів і , то існують такі многочлени і , що.(23)Якщо додатково , , то можна так підібрати і , щоб , .Доведення. В передостанній з рівностей (22) покладемо , . , . через та з (22):
,д...
